Жөнөкөй polyhedra: элементтер симметриялуу жана аймак

Геометрия, анткени сулуу, айырмаланып алгебранын, эмне үчүн ар дайым ачык-айкын эмес, сиз эмне деп ойлоп, бир көрсөтмө объект берет. ар кандай органдардын Бул кереметтүү дүйнөнүн үзгүлтүксүз polyhedra көркүн ачат.

үзгүлтүксүз polyhedra жөнүндө жалпы маалымат

көп, үзгүлтүксүз polyhedrons айтымында, Платондун катуу деп аталган же, уникалдуу касиетке ээ. Бул объектилер бир нече илимий божомолдорду байланышы менен. Сен дененин геометриялык маалыматтарды изилдеп баштаганда, дээрлик дайыма polyhedra сыяктуу бир түшүнүк жөнүндө эч нерсе билген эмес экенин түшүнүшөт. мектепте ушул объектилерди берүү ар дайым кызыктуу эмес, көп да, алар эмне эсимде жок. көпчүлүк эл эс-жылы бир куб болуп саналат. дене геометриянын эч үзгүлтүксүз polyhedrons сыяктуу кемчиликсиз ээ эмес. Бул геометриялык органдардын бардык аттары байыркы гректер пайда болгон. Алар жүзүндөгү санын билдирет: кремний - төрт жактуу, hexahedron - Аллен, октаэдр - окука, картасы - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Бул геометриялык дененин бүт ааламдын Платондун көз-карашы боюнча, маанилүү орунду ээлейт. Алардын ичинен төртөө элементтерин же жактарды камтып: тетраэдр - от, icosahedron - суу куб - жер, октаэдр - аба. Картасы баарын ачып берди. Ал ааламдын бир белгиси катары, негизги деп эсептелген.

бир polyhedron түшүнүгү жалпылаштыруу

Polyhedron ушундай полигондорунун чендүү жыйнагы болуп саналат:

• полигондорунун кандайдыр бир тараптын ар бир эле учурда бир эле жагында дагы бир зонаны бир гана тарап жатат;
• Сиз полигондорунун ага чектеш өтүп башка жүрө алабыз полигондорунун ар бир.

polyhedron түзгөн Polygons анын жүзүн жана алардын каптал өкүлү - кабыргасы. polyhedra vertices полигондорунун vertices болуп саналат. мөөнөттүү бурчтугу квартира жабык polylines түшүнүүгө болсо, анда бир polyhedron бир аныктама келет. Бул мөөнөткө сынган линияларын чектелген учак бир бөлүгүн билдирет менен учурда, ал чылымдын зыяны даана турган бетин түшүнүктүү болот. Томпок polyhedron анын беттери менен чектешкен учак бир жагында жаткан орган, деп аталат.

бир polyhedron дагы аныктамасы жана анын элементтери

Polyhedron геометриялык денесин чектеген полигондорунун турган бетин, деп атады. Алар төмөнкүлөр:

• Азык-дөмпөк;
• дөмпөк (туура жана туура эмес).

Жөнөкөй polyhedron - максималдуу симметрия менен дөмпөк polyhedron болуп саналат. үзгүлтүксүз polyhedra элементтери:

• Тетраэдр: 6 кабыргасы 4 жүздөрү 5 vertices;
• hexahedron (куб) 12, 6, 8;
• картасы 30, 12, 20;
• октаэдр, 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Эйлер теоремасы

Бул Компаниялар, чокусунан, жүзтөмөндөп санынын ортосундагы байланыш topologically бир чөйрөсүндө барабар белгиленет. чокусунан, жүзтөмөндөп санын (B + D) кошуу ар дайым polyhedra жана кабырга саны менен салыштырып, бир бийлик коюуга мүмкүн: зоолору жана жээктердин санына барабар жүзүндөгү санынын суммасы (P) 2 га көбөйгөн, ал жөнөкөй болуш алсак болот:

• B + D = P + 2.

Бул формула бардык дөмпөк polyhedra бою күчүндө болот.

негизги түшүнүктөр

үзгүлтүксүз polyhedron түшүнүгү бир сүйлөм менен айтып берүү мүмкүн эмес. Бул көбүрөөк баалаган жана көлөмү. Бир орган катары таанылган, ал аныктамалар бир катар жооп болушу зарыл. Ошентип, геометриялык орган бул шарттар сакталган дайыма polyhedron болот:

• бул дөмпөк болуп саналат;
• кабыргасын бир катар vertices ар бир Тюрнер,;
• бардык нерселер, анын - үзгүлтүксүз полигондорунун бири-бирине барабар;
• Бардык dihedral бурчтар барабар.

үзгүлтүксүз polyhedra касиеттери

үзгүлтүксүз polyhedra 5 ар кандай түрлөрү бар:

1. Куб (hexahedron) - бул жалпак жансыз бурч 90 ° жазыла элек. Бул 3-тараптуу бурч менен кыйшайып турат. Сумма бети 270 ° күчүндө бурчтары.
2. Тетраэдр - жалпак жансыз бурч боюнча - 60 °. Бул 3-тараптуу бурч менен кыйшайып турат. Сумма бети күчүндө бурчтары - 180 °.
3. Октаэдр - жалпак жансыз бурч боюнча - 60 °. Бул төрт тараптуу бурч менен кыйшайып турат. Сумма бети күчүндө бурчтары - 240 °.
4. Картасы - 108 ° С жалпак жансыз бурч. Бул 3-тараптуу бурч менен кыйшайып турат. Сумма бети күчүндө бурчтары - 324 °.
5. Icosahedron - 60 ° - бул бир жалпак жансыз бурч менен кыйшайып турат. Бул беш бурчтуу бурч менен кыйшайып турат. Сумма бети 300 ° күчүндө бурчтары.

үзгүлтүксүз polyhedra аянты

геометриялык органдарынын беттик аянты (S) бөлүктөн саны (G) көбөйтүлгөн үзгүлтүксүз бурчтугу багыты катары эсептелет:

• S = (а: 2) 2G Панданг π / б х.

үзгүлтүксүз polyhedron көлөмү

Бул маани дайыма пирамида көлөмүн көбөйтүү базасы үзгүлтүксүз полигон болуп эсептелет, жүзтөмөндөп санын жана анын бийиктиги чөйрөсүндө (ж) жазылган радиусу:

• V = 1: 3rS.

үзгүлтүксүз polyhedra көлөмү

башка ар кандай геометриялык бекем, туруктуу polyhedra ар көлөмүн бар эле. Төмөндө алар эсептей аласыз турган бисмиллах:

• Тетраэдр: α х 3√2: 12;
• октаэдр: α х 3√2: 3;
• icosahedron; α х 3;
• hexahedron (куб): α х 5 х 3 х (3 + √5): 12;
• картасы: α х 3 (15 + 7√5): 4.

үзгүлтүксүз polyhedra элементтери

Hexahedron жана октаэдр кош геометриялык органдары болуп саналат. Башка сөз менен айтканда, алар бир оордук борбору биринин үстүнө, жана тескерисинче катары алынган учурда бири-бирине чыгып кетиши да мүмкүн. Ошондой эле кош icosahedron жана картасы болуп саналат. Өзү гана тетраэдр кош болуп саналат. Euclid ыкмасы боюнча кубе бетине "үйүн" куруу менен картасы hexahedron алууга болот. тетраэдриндеги vertices кубе эч 4 vertices эмес, четине чектеш жуптары. From hexahedron (кубе) алууга болот, жана башка үзгүлтүксүз polyhedra. карабастан үзгүлтүксүз полигондорун сансыз, үзгүлтүксүз polyhedra бар, 5 гана бар.

үзгүлтүксүз полигондорунун радиустары

Бул геометриялык органдардын ар бири менен байланышкан Кошборбордуу тармакка 3:

• vertices аркылуу өтүп сүрөттөлгөн;
• Анын ортосунда, анын жүзүндөгү ар бир бөлүгүндө жазылган;
• медианасы ортосунда бардык миздүү жөнүндө.

Төмөнкү бисмиллах менен сүрөттөлгөн чөйрөсүндө диаметри эсептелет:

• R = а: 2 х тг π / г х тг θ: 2.

жазылган чөйрөсүндө диаметри төмөнкүлөр эсептелет:

• R = а: 2 х Панданг π / б х тг θ: 2,

мында θ - чектеш кырдуу ортосундагы dihedral бурч.

чөйрөсүндө медианасы радиусу төмөнкүдөй эсептелиниши мүмкүн:

• ρ = бир кызмат ¼т¼¼д¼н баш π / б: 2 күнөө π / ч,

кайда ч 4.6, 6.10, же 10. жазылган сүрөттөлгөн элемент катышы, симметриялык б жана С карата таамай =. Бул төмөнкүлөр эсептелет:

• R / р = тг π / п х тг π / с.

polyhedra симметриянын

үзгүлтүксүз polyhedra симметриянын бул геометриялык органдарына негизги кызыктырат. Бул vertices, жүзтөмөндөп жана жээктердин бирдей санда чыгып, космосто органдын кыймыл катары түшүнүлөт. Башка сөз менен айтканда, симметрия таасири этегинен өзгөрүүлөр боюнча, чоку, же болбосо бети, анын баштапкы абалын, же башка адамдан алынган кабыргадан үй кызматына берет сактап, башка vertices же беттери.

үзгүлтүксүз polyhedra симметриянын Elements геометриялык катуу бардык түрлөрү үчүн жалпы болуп саналат. Мында баштапкы абалда пунктка кайсы таштап аныктык которуу боюнча жүргүзүлөт. Демек, силер чылымдын зыяны призма буруп, кээ бир symmetries алууга болот. Алардын ар бир чагылдыруунун натыйжасы катары көрсөтүлүшү мүмкүн. түздөн-түз аталган да чагылдырып саны, натыйжасы бирине. аны чагылдырып ичинен так санда продукт болсо, анда ал байланыш деп аталат. Ошентип, чубалгысынын тегерегиндеги бардык кезектешип түз симметриялуу билдирет. Ар бир чагылуусу polyhedron - тескери симметрия болуп саналат.

жакшы үзгүлтүксүз polyhedra симметриянын элементтерин түшүнүү үчүн, тетраэдриндеги үлгү алсак болот. зоолору жана борборунда бири аркылуу өтөт Ар бир сап геометриялык абалда, орун алып, анын мизи карама-каршы борбору аркылуу. сапта айланасында кезектешип 120 жана 240 ° ар көптүк кремний- симметрия таандык. ал 4 чокусунан, жүздөрү болгондуктан, биз түздөн-түз сегиз symmetries жалпы алышат. кырына ортосунда жана дененин борбору аркылуу өткөн линияларын болбосун, ал карама-каршы четине ортосунда аркылуу өтөт. 180 ° болбосун айлануу, түз симметрия жүзүндөгү жарым-бурулуш деп атады. тетраэдр кабыргасын үч жуп бар болгондуктан, симметрия = гъд = й ъч алуу. Жогоруда баяндалгандардын негизинде, биз түздөн-түз симметрия жалпы санын жана инсандыгын кайра анын ичинде жыйынтык чыгарууга болот, он жылга чейин болот. Башка тике симметриясы тетраэдр мүмкүн эмес, ал эми 12-тескери симметриянын бар. Демек, бир гана 24-кычкылтектүү symmetries мүнөздөлөт. Тагыраак айтканда, биз картон жасалган үзгүлтүксүз тетраэдриндеги моделин курууга жана геометриялык орган чынында эле 24-симметриянын бар экенин сезиши мүмкүн.

Картасы жана icosahedron - дене аймакка жакын. Icosahedron жүзүндөгү ири бар, dihedral бурчу жана баарынан бекем жазылган чөйрөсүндө бекем кармана алышат. Картасы чокуга төмөнкү бурчтук кемчилик ири катуу бурч менен кыйшайып турат. Бул Чектелген чөйрөсүндө толтуруу үчүн максималдуу мүмкүн.

сканер polyhedra

биз бала чогуу тыгылып жөнөкөй polyhedra скандоочу, түшүнүктөрдүн көп. полигондорунун жыйындысы жок болсо, анда ар бир тарап polyhedron бир гана тарап менен аныкталып, тараптардын аныктоо эки шарттарына ылайык келүүгө тийиш:

• Ар бир эркин зонаны түзүү боюнча, сиз тараптан аныктоо бир зонаны барып;
• аныкталуучу тарап эле узун болушу керек.

Бул талаптарга жооп полигондорунун жыйындысы болуп саналат, жана polyhedron скандоочу деп аталат. Ушул органдардын ар бири алардын бир нече жазыла элек. Мисалы, 11 даана кайсы бир куб бар.