Ыктымалдуулук теориясы. бир окуянын ыктымалдыгы, кез-кезде окуя (ыктымалдуулук теориясы). ыктымалдуулук теориясы менен көз карандысыз жана туура келбеген окуялар

Бул көп адамдар үчүн кокустан кандайдыр бир даражада турган окуяларды санап мүмкүн деп күмөн. жөнөкөй сөз менен айтканда, бул реалдуу өкчөмө таш кийинки жолу түшүп калат кубе кайсы тарабында билүү болуп саналат. Бул эки улуу окумуштуулардын сурап бул суроо болду, бул илим үчүн пайдубал салдым, теориясын ыктымалдуулук, ыктымалдыгы көп жетиштүү изилденген турган иш.

муун

Сиз ыктымалдуулук теориясы сыяктуу түшүнүгүн аныктоого аракет кылсак, биз төмөнкү алуу: Бул кокустук окуялардын үзгүлтүксүз изилдеген математика бутактарынын бири болуп саналат. Ооба, бул түшүнүк чынында маанисин ачып эмес, ошондуктан көбүрөөк майда-чүйдөсүнө чейин аны карап чыгышыбыз керек.

Мен теориянын куруучуларынын менен баштагым келип турат. Жогоруда белгиленип кеткендей эле, башкача айтканда, эки болду Пер Ferma жана Blez Клео. Алар иш-чаранын жыйынтыгы эсептеп нерсени жана математикалык эсептөөлөрдү колдонуп аракет биринчи болду. Жалпысынан алганда, бул илимдин негиздери да орто кылымдарда болуп саналат. ар түрдүү ойчулдар жана илимпоздор, ошондуктан ушундай рулетка, сайта, ошондой эле казино талдоого аракет кылып жатканда, бул үлгү түзүү, ошондой эле бир катар пайыздык жоготуу. уюштуруу, ошондой эле жетинчи кылымда тургузулган, ал жогоруда аталган окумуштуулар болгон.

Башында, алардын иши ушул тармагындагы мыкты жетишкендиктери ыйгарылышы мүмкүн эмес, баары бир, алар эмне, алар жөн гана эмпирикалык маалыматтар менен эксперименттер нерсени колдонуп туруп, ачык болчу. Убакыттын өтүшү менен, ал талаа сөөккө гипсте байкоо натыйжасында пайда болгон улуу натыйжаларга жетүү үчүн аны көздөй бурулушту. Бул инструмент биринчи так болуш алып жардам берген жатат.

жактоочулары

Christiaan Гюгенс сыяктуу бир адам сөз менен эмес, "ыктымалдык теориясы" деген ысмы менен аталган изилдөө учурунда (иш-чаранын болуу ыктымалдыгы бул илим менен баса). Бул адам абдан кызыктуу. Ал, ошондой эле, окумуштуулар жогоруда кокустук окуялардын бир үзүмү чыгарууга математикалык акысы түрүндө аракет кылып жатышат тапшырды. Ал Паскалга жана Fermat менен жеген жок беле? Баса белгилей кетчү нерсе, бул анын иши ошол акылы менен бири болбой калды. Huygens алынган ыктымалдуулук теориясынын негизги түшүнүктөрү.

Бир кызыктуу чындык, анын иши пионерлердин иштердин жыйынтыгы электе эле келип, так болушу керек, жыйырма жыл мурун болуп саналат. болгон аныкталган түшүнүктөрдү арасында гана бар:

• ыктымалдуулук мааниси кокустан түшүнүк;
• дискреттик иш боюнча күтүү;
• Ыктымалдуулуктардын кошуу жана көбөйтүү теоремалары.

Ошондой эле, бир эле маселени изилдөөгө өбөлгө Yakoba Bernulli, унута албайм. өз, алардын да көз карандысыз сыноо аркылуу, ал көп сандаган мыйзам далилдеп бере алдык. Өз кезегинде, башында он тогузунчу кылымдын иштеген окумуштуулар Пуассондун, Лаплас менен, баштапкы теоремасы далилдей алдык. Ошол учурда байкоо жүргүзүүгө каталарды талдоо биз ыктымалдык теориясын колдонуп баштады. Бул илим тегерегинде партиясы эмес, Орусиянын окумуштуулары да мүмкүн эмес, Markov, Chebyshev жана Dyapunov. Алар кылган улуу генийлердин иш негизделет, математика бутак сыяктуу тема кылынган. Биз он тогузунчу кылымдын аягында бул сандардан иштеген, алардын салымы үчүн рахмат, ушул сыяктуу окуяларды далилденген алынган:

• көп сандаган мыйзам;
• Markov чынжыр теориясы;
• Борбордук пределдик теорема.

Ошондуктан, илим төрөлүшү жана ага салым кошкон негизги кулк-мүнөзү менен тарых, баары аздыр-көптүр түшүнүктүү. Эми бардык нерсени чыгып эт убакыт жетти.

негизги түшүнүктөр

Сиз тийип чейин мыйзамдар жана теоремалар ыктымалдуулук теориясынын негизги түшүнүктөрүн үйрөнүү керек. Бул иш-чара, ал негизги ролду ээлейт. Бул тема өтө көп, бирок аны бардык эс түшүнө албай калат.

ыктымалдык теория боюнча иш-чара - бул эксперименттин натыйжасы кандай жыйындысы. Бул кубулуштун түшүнүктөр жетиштүү эмес, бар. Алсак, бул багытта иш Лотман илимпоз, бул учурда биз эмне жөнүндө сөз болуп жатат деп билдирди ", ал болушу мүмкүн эмес болсо да, болгон."

Кокус окуялар (ыктымалдуулук теориясы, аларга өзгөчө маани берет) - пайда мүмкүнчүлүгүн ээ болгон эч бир нерсени билдирет бир түшүнүк. Же, тескерисинче, бул окуянын шарттары ар түрдүү аткаруу боюнча болушу мүмкүн эмес. Ошондой эле, бир эле туш келди окуялар болуп жаткан окуялардын бүт көлөмүн ээлеген алганыбыз маанилүү. Ыктымалдуулук теориясы бардык шарттар дайыма болот деп эсептейт. Бул алардын жүрүм-туруму, "тажрыйба" деп аталат болуп келе жатат ", сыноо."

Олуттуу иш-чара - бул сыноо бир жүз пайыз боло турган көрүнүш. Демек, мүмкүн эмес иш-чара - бул ишке ашпай турган нерсе.

түгөй Иш-аракет (шарттуу иши жана иш B) айкалыштыруу бир эле учурда пайда болот, бир окуя эмес. Алар AB деп аталат.

окуялардын жуп суммасы А жана B - C болуп саналат, башкача айтканда, алар, жок эле дегенде, бир (же B), анда, сен C. формула сүрөттөлгөн көрүнүш C = A + Б. катары жазылган алуу

ыктымалдуулук теориясы боюнча туура келбеген окуялар эки учур ара өзгөчө экенин айтып турат. Ошол эле учурда, алар ар кандай учурда пайда болушу мүмкүн эмес болуп саналат. ыктымалдык теориясы боюнча биргелешкен иш-чаралар - бул алардын антипод болуп эсептелет. Башкача айтканда, эгер бир окуя болгон, ал C. тоскоолдук кылбайт деп

иш-чараны (ыктымалдуулук теориясы көп майда-чүйдөсүнө чейин аларды карайт) карама-каршы, түшүнүүгө жеңил болуп саналат. Ордунда алар менен мамиле кылуу абзел. Алар дээрлик ыктымалдуулук теориясы, ошол эле сыяктуу карама-каршы окуялар болуп саналат. Бирок, алардын айырмасы кайсы учурда болбосун кандайдыр бир кубулуш ишке ашырган бир болушу керек.

Ошондой эле, кыязы, болгон окуялар - бул иш-аракеттер, анын кайталанбашына мүмкүнчүлүгү бирдей болуп саналат. так болушу үчүн, бир тыйындын экинчи жагы элестетсек болот: анын бир жоготуу бирдей ыктымалдуу жоготуу башка болот.

Бул иш-чарага көмөк үлгүсүн карап турбай жатат. эпизод А. бир эпизод бар дейли биринчи - так санда пайда менен өлүп, бир түрмөк, ал эми экинчиси - тамаша саны беш көрүнүшү. Кийин ал дагы бир артыкчылык V. болгону белгилүү болду

Көз карандысыз окуялар ыктымалдык теориясы гана эки же андан көп жолу болжолдонууда жана башка ар кандай иш-карандысыз камтыйт. Мисалы, А - палубага тартып dostavanie Джек - жоготуу куйруктары монета толкуганынан жана B өзгөртүлгөн. Алар ыктымалдык теориясынын көз карандысыз окуялар бар. Ушул учурдан тартып, ал ачык-айкын болуп калды.

ыктымалдык теориясынын көз каранды окуялар гана топтому да болот. бул учурда алар башка, бир көз карандылыгын билдирбейт болуп, кубулуш, тескерисинче боюнча буга чейин болуп өткөн же кийин учурда гана болушу мүмкүн, болгон жок - Б. негизги абалы

бир бөлүкчө турган кокустук эксперименттин жыйынтыгы - бул башталгыч окуялар болот. Ыктымалдуулук теориясы, аны бир эле жолу жасалат, бир окуя эмес экени айтылат.

негизги формула

Ошентип, жогоруда, "иш-чарага", "ыктымалдык теориясы" деген түшүнүк болуп эсептелет, бул илимдин негизги терминдердин аныктамалары эле да берилди. Азыр бул маанилүү акысы менен таанышууга убакыт жетти. Бул сөздөр математикалык ушундай оор ыктымалдуулук теориясынын предмет боюнча бардык негизги түшүнүктөр ырасталат. бир иш-чаранын болуу ыктымалдыгы жана абдан чоң ролду ойнойт.

Жакшыраак Комбинаториканын негизги акысы менен баштоо. сен аларды баштай электе эле, ал эмне жөнүндө ойлонуп көргөнү дурус.

Combinatorics - негизинен математика илиминин бир тармагы, анын сөз айкаштарын бир катар алып, сандар жана алардын элементтерин, ар кандай маалыматтарды, жана башкалар да бүтүн, ошондой эле ар кандай санда бир көп сандаган изилдеп жатат ... ыктымалдуулук теориясы тышкары, бул өнөр жай статистикасы, компьютер илим жана Колдонмо үчүн маанилүү болуп саналат.

Ошондуктан азыр өздөрү жана алардын аныктамасы акысы тапшырганга чейин сүзө алат.

Бул биринчи санда санын көрсөтүп турат, ал төмөнкүчө чагылдырууга болот:

P_n = н ⋅ (н - 1) ⋅ (N - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = н!

элементтер бекиткен тартибинде гана айырмаланган болсо, иш козгоо кыйын учурда гана колдонулат.

Азыр жайгаштыруу формула, бул каралат окшойт:

A_n ^ м = н ⋅ (н - 1) ⋅ (N 2) ⋅ ... ⋅ (N - м + 1) = н! : (N - м)!

Бул сөз айкашы бир гана тартип жайгаштыруунун гана элементтерин гана эмес, ошондой эле, анын курамы үчүн.

Комбинаториканын үчүнчү бирдейлиги, жана ал акыркы, кошулмалардын саны болуш деп аталат:

C_n ^ м = н! : ((N - м))! : M!

үчүн, тиешелүүлүгүнө жараша, буйрук жана бул эрежени колдонулган эмес Аралашма пробаларды алуу деп аталат.

Комбинаториканын бисмиллах түшүнүктүү келген менен, сиз эми ыктымалдуулук классикалык аныктамасына болот. төмөнкүлөр жөнүндө бул сөз болот:

N: P (A) м =.

Бул бисмиллах менен, м - окуя үчүн жагдайлуу шарттарды саны жана N - бирдей жана толук бардык башталгыч окуялардын саны.

Мисалы үчүн, ошондой эле макалада бир нерсе болуп эсептелет, бирок абдан маанилүү бир адамдар болот таасир этпейт көп сөздөр бар, окуяларга ыктымалдуулугу түзөт:

P (А + Б) = P (A) + P (B) - бир гана өз ара өзгөчө иш-чараларды кошуп, бул теоремасы;

P (А + Б) = P (A) + P (B) - P (А) - бирок бул туура кошуу үчүн гана болуп саналат.

Бул иш-чара чыгармалардын ыктымалдыгы:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - көз карандысыз иш-чаралар үчүн бул теоремасы;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - бул көз каранды болот.

окуялар бисмиллах аяктаган тизмеси. ыктымалдуулук теориясы бизге теоремасы айтылат Бул окшойт Bayes:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (к = 1) ^ н P (H_k) P (A | H_k)), м = 1, ..., н

Бул иштеп, H _1, H _2, In ..., H _N - гипотезаларды толук жыйындысы.

Бул токтогон учурда үлгүлөр бисмиллах арыз азыр иш жүзүндө өзгөчө тапшырмалар боюнча каралат.

мисалдар

кылдат математика бир бутагын изилдеп, анда ал көнүгүүлөрдүн жана үлгү чечимдерди жок эмес. Жана ыктымалдуулук теориясы: окуялар, бул мисалдар илимий эсептөөлөрдү тастыктаган ажырагыс бөлүгү болуп саналат.

санда бир саны үчүн формула

Мисалы, карта палубага номиналдык менен баштап, отуз карталар бар. Кийинки суроо. бир жана эки номиналындагы карталары кийинки жайгашкан эмес, ошондуктан палубасын бүктөп кантип ар кандай жолдор менен?

маселе азыр Кудайдын аны менен күрөшүү боюнча түрткү болсун, белгиленет. Биринчиден, биз жогорудагы алып, бул үчүн, отуз элементтердин санда санын аныктап алуу зарыл, ал P_30 = 30 жашка толду.

Ушул эрежеге таянып, ар кандай жолдор менен палубасын жатты үчүн бар канча параметрлери, бирок биз аларга биринчи жана экинчи карта кайсы адамдар кемитилет керек болуп калат билебиз. Бул үчүн, биринчи экинчи жайгашкан бир Variant менен башталат. Бул биринчи карта жыйырма тогуз жерлерди кетиши мүмкүн экен - биринчи жыйырма тогузунчу жана отуз экинчи экинчи картасы карталардын жуп үчүн жыйырма тогуз орун калат. Өз кезегинде, башка жыйырма сегиз орун алат, жана ар кандай тартипте. Башкача айтканда, жыйырма сегиз карталарын бөлүштүрүүнү үчүн жыйырма сегиз сынап жатат P_28 = 28!

Натыйжада, биз чечим кабыл алсак, биринчи карточка экинчи кошумча мүмкүнчүлүктөр болгондо 29 ⋅ 28-алууга болот! = 29!

эле ыкманы колдонуп, сиз биринчи карточка экинчи астында жайгашкан учурда ашыкча жолдору санын эсептөө керек. Ошондой эле алынган 29 ⋅ 28! = 29!

Ушундан улам, кошумча параметрлери төмөнкүдөй 2 ⋅ 29, палубасын 30 чогултуу зарыл болгон техникалык каражаттар болсо! - 2 ⋅ 29. Бул эсептөө гана калат.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Азыр биз саны ар бир жыйырма тогуз бирге көбөйүп керек, андан кийин 28 көбөйтүлгөн бардык аягында жооп 2,4757335 алынган ⋅ 〖〗 10 ^ 32

чечүү мисалдары. жайгаштыруу санына формула

Бул маселенин, бир оюнчукту беш томдук үчүн жолдор бар канча, бирок шартта гана отуз көлөмү билиш керек.

Бул маселени-жылы, мурунку бир аз кыйын чечим. мурунтан эле белгилүү болуш колдонуп, ал отуз жайгашкан беш көлөмү жалпы санын эсептөө керек.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Иш-аракет, тиешелүүлүгүнө жараша, 202 барабар болот 843 204 931 727 360 000.

Азыр дагы кыйын бир аз ишин берилгендик менен аткарып жатат. Сиз бул гана он беш көлөмү эле текчеде жашай алабыз шарттарды эске алуу менен, текчелеринде отуз эки китеп уюштуруу жолдору бар канча билиши керек.

чечим кабыл башталганга чейин айрым маселелерди бир нече жол менен чечүүгө болот деп тактоо кетким келет, бул эки жол бар, бирок экөө тең бир эле формула колдонулат жатат.

Бул маселени, сен бар, биз, сиз аларды ар кандай жолдор менен он беш китеп үчүн текче толтуруп, кээде санын эсептеп, мурдагы бир жооп ала аласыз. = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 - Ал A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (15 + 1, 30) бурулуп.

ал он беш калган, ал эми он беш китеп жайгаштырылган, анткени экинчи, формула орун боюнча эсептелген полку. Биз формула P_15 = 15 колдонушат.

Бул сумма A_30 ^ 15 ⋅ P_15 жолдор менен берет экен, бирок, мындан тышкары, отуз алты бардык сандардын продукт аягында отуз бири бардык сандардын продуктусун ишке буруп, он бир сандардын буюмдун, көбөйтүлгөн болот, деп жооп 30!

Бирок, бул маселе ар кандай жолдор менен чечсе болот - кыйын. Бул үчүн, сиз отуз китеп бир текче бар экенин элестете алабыз. Алардын баары бул учак жайгаштырылат, бирок абалы, эки текчелери, бири узун, биз жарым кестиртип, эки кезектешип беш бар деп талап кылат. Ушундан улам, бул чарасын P_30 = 30 болушу мүмкүн экен.

чечүү мисалдары. жыйындысынан санын формула

дисперсиялык жана үчүнчү маселе бир түрү ким болуп эсептелет. Сиз так эле отуздан чечиши керек канча жолдор абалы боюнча он беш китеп уюштуруу бар билиши керек.

Албетте чечими үчүн, кошулмалардын саны болуш колдонулат. абалда экенин, ал ошол эле он беш китеп үчүн маанилүү эмес экенин билүүгө болот. Ошентип, башында сиз отуз беш китеп айкаштарын жалпы санын билүү үчүн керек.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Болгону ушул. Бул чечим, кыска убакыттын ичинде бул маселени чечүү үчүн колдонуп, жооп, тиешелүүлүгүнө жараша, 155,117,520 барабар.

чечүү мисалдары. Ыктымалдуулуктун классикалык аныктамасы

Жогоруда берген тамагын колдонуп, бир жөнөкөй тапшырманы бир жооп таба аласыз. Бирок, мынчалык ачык, көрүп жана иш ишенимге ээ болот.

тепши он толугу менен бирдей шары бар деп берилген тапшырма. Алардын ичинен төрт сары жана алты көк. челек бир топ алынган. Ал көк dostavaniya ыктымалдыгы билүү зарыл.

көйгөйдү чечүү үчүн dostavanie көк убакыт окуя А. белгилөө үчүн зарыл болгон бул тажрыйба, өз кезегинде, алардын он жыйынтыгы болушу мүмкүн, башталгыч жана бирдей. Ошол эле учурда, он алты окуя А. төмөнкүдөй чыгаруу үчүн жагымдуу болуп саналат:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Бул чечим колдонуу, биз көк топтун dostavaniya ыктымалдыгы 0,6 экенин билдик.

чечүү мисалдары. окуялар суммасынын ыктымалдыгы

окуялар болжолдуу өлчөмүн тамагын аркылуу чечилет ким бир түрү болуп калат. Ошентип, эки учурлар бар экенин абалы эске алып, биринчи боз беш ак шары болуп саналат, ал эми экинчиси - сегиз боз жана төрт ак шары. Натыйжада, биринчи жана экинчи кутучалар алардын бири боюнча алгам. Бул шары көгүш жана ак жок мүмкүнчүлүгү бар экенин билүү үчүн зарыл.

Бул маселени чечүү үчүн, бул иш-чараны аныктап алуу зарыл.

• Ошентип, А - биз биринчи кутуга бир боз топ бар: P (A) = 1/6.
• А "- биринчи үкөктөн алынган ак лампа: P (A) = 5/6.
• - экинчи суу түтүгүнүн мурда алынган боз убакыт: P (B) = 2/3.
• B "- экинчи суурмасынан бир боз топту алып: P (B ') = 1/3.

маселе боюнча ал окуялардын бири болгон зарыл: А "же" Б. чечим менен биз алуу: P (AB) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Азыр ыктымалдыгы ажырагыс формула колдонулган. Кийинки, жооп билиш үчүн, сени кошуп, алардын аркалашат колдонуу эмне үчүн зарыл:

P = P (AB "+ A'B) = P (А) + P (A'B) = 11/18.

Бул чечим менен, кантип, ушундай маселелерди чечүүгө болот.

жыйынтык

кагаз "ыктымалдык теориясы" боюнча маалымат, маанилүү ролду ойнойт окуялардын ыктымалдыгы тапшырылды. Албетте, бардык нерсе болуп эсептелет, ал эми берилген тексттин негизинде, сиз теориялык математика бул бийлиги менен тааныша аласыздар. Каралган илим кесиптик гана бизнес менен эмес, пайдалуу болушу мүмкүн, бирок, ошондой эле күнүмдүк жашоодо. Сиз бир окуянын кандай мүмкүнчүлүгүн эсептөө үчүн колдоно алышат.

текст, ошондой эле чыгармалар анын ичине алган бир илим катары ыктымалдуулук теориясынын өнүгүү тарыхында, эл аттары окуяга таасир эткен. Ошондуктан канчалык адам кызыгып, эл да туш келди окуялар, санап үйрөндүм деп алып келди. Алар ушул эле кызыкдар бир жолу, ал эми бүгүнкү күндө ал буга чейин эле баарына белгилүү. Эч ким биз үчүн келечекте эмне болорун, каралып жаткан теория менен байланышкан башка мыкты ачылыштар эмне жасалса болмок деп айта алабыз. Бирок, бир нерсени так айтса болот: - изилдөө дагы татыктуу эмес!